¿Qué es un fractal?

 ¿Qué es un fractal?

Un fractal es un objeto geométrico caracterizado por presentar una estructura que se repite a diferentes escalas. En cierto modo, se trata de un patrón sin fin. Así, la Figura 1 muestra un fractal del plano. El término fue propuesto por Benoît Mandelbrot en 1975. Proviene del latín fractus, cuyo significado es quebrado o fracturado.

Desgraciadamente, no existe al día de hoy una definición rigurosa de fractal totalmente satisfactoria. Sin embargo, sí pueden enumerarse algunas propiedades que cabe esperar en un fractal:

Que sea autosimilar o, al menos, quasi-autosimilar, en el sentido de Sullivan. Por ejemplo, en términos vagos se puede decir que un fractal del plano es una curva que se reproduce a sí misma indefinidamente.

Que su dimensión topológica sea estrictamente inferior a su dimensión geométrica (o dimensión de Hausdorff). Así, en el plano podríamos hablar de “curvas” de longitud infinita, a pesar de estar contenidas en un recinto acotado.

La estructura fractal ha sido reconocida desde hace mucho tiempo, aunque sólo recientemente ha sido posible sacarle partido.

Las primeras ideas parecen remontarse a Gottfried Leibniz (1646-1716), que consideró la posibilidad de generar objetos recursivamente autosimilares. Karl Weierstrass (1815-1897) y Niels Helge von Koch (1870-1924) consiguieron más tarde definir funciones cuyos grafos son fractales (véase la Figura 2).

En la Naturaleza aparecen con frecuencia objetos con apariencia fractal. Pensemos en árboles, ríos, perfiles de costa, nubes, etc.; véanse las imágenes mostradas en las Figuras 3 y 4.

Por otro lado, un fractal puede ser generado repitiendo un proceso simple una y otra vez en un ciclo realimentado. Por ejemplo, el conjunto de Mandelbrot  de la Figura 1 está dado por los números complejos c

 tales que la sucesión {zn}

 definida por z0=0

 y

zn+1=z2n+c  para n≥0,(1)

está acotada.